Величина

ВЕЛИЧИНА, одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

В «Началах» Евклида были отчётливо сформулированы свойства величины, называемые теперь (для отличия от дальнейших обобщений) положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие величины является непосредственным обобщением конкретных понятий, в частности длины, площади, объёма, массы и тому подобное. Каждый конкретный род величины связан с определённым способом сравнения соответствующих объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму требуются более сложные приёмы. В пределах системы всех однородных величин (т. е. в пределах всех длин, или всех площадей, или всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины а и b одного и того же рода или совпадают (а = b), или первая меньше второй (а<b), или вторая меньше первой (b<а). Для каждого рода величин (длин, площадей, объёмов) определяется операция сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных положительных скалярных величин отношение сравнения (а<b) и операция сложения (а + b = с) обладают следующими свойствами:

1) для любых а и b имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или а = b, или а<b, или b<а;

2) если а < b и b < с, то а < с (транзитивность отношения);

3) для любых а и b существует однозначно определённая величина с = а + b;

4) для любых а и b справедливо равенство а + b = b + а (коммутативность сложения);

5) для любых а, b, с справедливо равенство а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативность сложения);

6) для любых а и b справедливо соотношение а + b>а (монотонность сложения);

7) если а>b, то существует одна и только одна величина с, для которой b + с = а (возможность вычитания);

8) для любых а и целого положительного числа n существует такая величина b, что nb = а (возможность деления);

9) для любых а и b существует целое положительное число n такое, что а <nb. Это свойство называется аксиомой Евдокса или аксиомой Архимеда.

Свойство 9) вместе с более элементарными свойствами 1) - 8) служит основой теории измерения величины, развитой древнегреческими математиками.

В частности, если взять какую-либо длину l за единичную, то система Q всех длин вида lp/q, где р и q - целые положительные числа, обладает свойствами 1) - 9). Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору) показывает, что система Q ещё не охватывает системы R всех возможных значений длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к требованиям 1) - 9) надо присоединить ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) если последовательности величин а₁, а₂, b₁, b₂, ... такие, что а₁<а₂< ...<b₂<b₁ и b_n - а_n < с для любой величины с при достаточно большом номере n, то существует единственная величина х, которая больше всех а_n и меньше всех b_n.

Свойства 1) - 10) определяют современное понятие системы положительных скалярных величин. Если в такой системе выбрать какоую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде а = αl, где α - положительное действительное число.

Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, которые могут иметь два противоположных направления, и тому подобных величин приводит к обобщению понятия скалярной величины, являющегося основным в математике, а также в механике и физике. Система скалярных величин в этом понимании включает в себя, кроме положительных величин, нуль и отрицательные величины. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину l за единицу измерения, выражают все остальные величины системы в виде а = αl, где α - действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю).

В более общем смысле величинами называют векторы, тензоры и другие нескалярные величины. Такие величины можно складывать, но отношение а < b для них теряет смысл.

В некоторых математических исследованиях используются так называемые неархимедовы величины, которые имеют с обычными скалярными величинами то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9) не выполняется.

Система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1) - 10), а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных величин, поэтому вполне законно сами действительные числа назвать величинами.

Смотри также Переменные и постоянные величины.

Лит.: Лебег А. Об измерении величин. 2-е изд. М., 1960.