Двойное отношение

ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ четырёх точек М₁, М₂, М₃, М₄ на прямой, число, обозначаемое символом (М₁М₂М₃М₄) и равное

где M_iM_j, i, j = 1, 2, 3, 4, i≠j, означает длину отрезка, соединяющего точки M_i и M_j. При этом учитываются направления отрезков; например, отношение М₁М₃/М₃М₂ считается положительным, если направления отрезков М₁М₃ и М₃М₂ совпадают, и отрицательным в противном случае. Двойное отношение зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой.

Наряду с двойным отношением четырёх точек рассматривается двойные отношения четырёх прямых m₁, m₂, m₃, m₄, проходящих через общую точку О. Это отношение обозначается символом (m₁m₂m₃m₄) и равно

причём углы (m_im_j) между прямыми m_i и m_j , i, j = 1, 2, 3, 4, i≠j, рассматриваются со знаками.

Если точки М₁, М₂, М₃, М₄ лежат на прямых m₁, m₂, m₃, m₄, (рис. 1), то (М₁М₂М₃М₄) = (m₁m₂m₃m₄). Если точки М₁, М₂, М₃, М₄ и М’₁, М’₂, М’₃, М’₄ получены пересечением одной четвёрки прямых m1, m2, m3, m4 двумя различными прямыми, то (М’₁М’₂М’₃М’₄) = (М₁М₂М₃М₄). Если же прямые m₁, m₂, m₃, m₄,  и m’₁, m’₂, m’₃, m’₄ проектируют одну четвёрку точек М₁, М₂, М₃, М₄ (рис. 2), то (m’₁m’₂m’₃m₄) = (m₁m₂m₃m₄). Двойное отношение не меняется при любом проективном преобразовании, т. е. является инвариантом этого преобразования, поэтому двойные отношения важны в проективной геометрии. Особую роль играют четвёрки точек и прямых, для которых двойное отношение равно -1. Такие четвёрки называются гармоническими.